抽象代数

抽象代数（或现代代数）研究的是代数结构的性质和运算规则，强调从结构上理解代数系统的规律，而不局限于具体的数值计算。

分类

• 群（Group）：描述具有封闭性、结合性、单位元和逆元的集合及其运算。
  • 示例：整数加法群 $\mathbb{Z}, +$
• 环（Ring）：具有加法和乘法运算的代数结构，要求加法成群，乘法对加法分配。
  • 示例：整数环 $\mathbb{Z}, +, \cdot$
• 域（Field）：环的特殊情况，其中每个非零元素都有乘法逆元。
  • 示例：有理数域 $\mathbb{Q}, +, \cdot$
• 模（Module）：是环上的类似向量空间的结构。

应用

抽象代数广泛应用于数论、代数编码、密码学、物理学等领域。