环(Ring)

在数学中，环（Ring）是一种代数结构，它包含一个集合和两种二元运算，通常是加法和乘法。这些运算必须满足一些特定的条件。具体来说，一个环需要满足以下几个条件：

1. 加法运算

• 封闭性：对任意两个元素 $a$ 和 $b$ 来自环 $R$，它们的和 $a + b$ 也在环中。
• 结合律：对于环中的任意元素 $a$，$b$，$c$，都有 $a + (b + c) = (a + b) + c$。
• 交换律：对任意两个元素 $a$ 和 $b$，有 $a + b = b + a$。
• 零元素：存在一个元素 $0$，使得对任意元素 $a$，有 $a + 0 = a$。
• 加法逆元素：对每个元素 $a$，存在一个元素 $-a$，使得 $a + (-a) = 0$。

2. 乘法运算

• 封闭性：对任意两个元素 $a$ 和 $b$ 来自环 $R$，它们的积 $a \cdot b$ 也在环中。
• 结合律：对于任意元素 $a$，$b$，$c$，有 $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$。
• 分配律：乘法对加法满足分配律，即
  • $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
  • $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

3. 环的分类

• 单位环：如果一个环的乘法有单位元素（即存在一个元素 $1$，使得对于任何元素 $a$，有 $a \cdot 1 = a$），则该环被称为单位环。
• 整环：如果一个环满足“无零因子”的条件，即 $a \cdot b = 0$ 时，$a = 0$ 或 $b = 0$，则该环被称为整环。
• 域：如果一个环的每个非零元素都有乘法逆元素，则该环是一个域。

环的示例

• 整数集合：整数集合 $\mathbb{Z}$ 在加法和乘法下构成一个环。
• 多项式环：所有以某个变量为基础的多项式组成的集合也是一个环。
• 矩阵环：所有 $n \times n$ 矩阵的集合在矩阵加法和乘法下也构成一个环。