群（Group）

1. 群的定义

一个群必须满足以下四个条件：

1. 闭合性 (Closure)：
   对于群中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，其运算结果 $a \cdot b$ 仍然属于这个群。

   $$\forall a, b \in G, \, a \cdot b \in G$$

2. 结合性 (Associativity)：
   运算满足结合律，即对于任意 $a, b, c \in G$，有：

   $$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$

3. 单位元 (Identity Element)：
   存在一个特殊的元素 $e$（单位元），使得对于任意 $a \in G$，有：

   $$a \cdot e = e \cdot a = a$$

4. 逆元 (Inverse Element)：
   对于群中的每个元素 $a$，存在一个元素 $a^{-1}$（逆元），使得：

   $$a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$$

2. 群的表示

一个群通常表示为 $(G, \cdot)$，其中：

• $G$ 是群的元素集合。
• $\cdot$ 是定义在 $G$ 上的运算。

3. 群的例子

3.1 整数加法群

集合 $G = \mathbb{Z}$，运算为加法 $+$。

• 闭合性：整数加法的结果仍是整数。
• 结合性：$(a + b) + c = a + (b + c)$。
• 单位元：$0$，因为 $a + 0 = a$。
• 逆元：对于任意整数 $a$，其逆元为 $-a$，满足 $a + (-a) = 0$。

因此，$(\mathbb{Z}, +)$ 是一个群。

3.2 矩阵乘法群

集合 $G = \mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ 表示所有 $n \times n$ 的非奇异矩阵，运算为矩阵乘法。

• 闭合性：矩阵乘法的结果仍是矩阵。
• 结合性：矩阵乘法满足结合律。
• 单位元：单位矩阵 $I$，满足 $A \cdot I = A$。
• 逆元：每个非奇异矩阵 $A$ 存在一个逆矩阵 $A^{-1}$。

因此，$(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R}), \cdot)$ 是一个群。

3.3 椭圆曲线群

在定义域 $\mathbb{R}$ 或有限域 $\mathbb{F}_p$ 上，给定椭圆曲线：

$$y^2 = x^3 + ax + b$$

集合 $G$ 包括椭圆曲线上的所有点 $P(x, y)$ 和无穷远点 $\mathcal{O}$，运算为点加法。

• 闭合性：点加法的结果仍在 $G$ 中，即 $P + Q = R, \, R \in G$。
• 结合性：$(P + Q) + R = P + (Q + R), \, \forall P, Q, R \in G$。
• 单位元：无穷远点 $\mathcal{O}$，满足 $P + \mathcal{O} = P, \, \forall P \in G$。
• 逆元：对于任意 $P \in G$，其逆元为 $-P$，满足 $P + (-P) = \mathcal{O}$。