循环群

在群论中，循环群（Cyclic group）是指由一个元素生成的群。换句话说，群 $G$ 是循环群，如果存在一个元素 $g \in G$，使得群 $G$ 中的每个元素都可以表示为 $g$ 的幂（对于加法群，是 $g$ 的加法倍数）。我们通常表示为：

$$G = \langle g \rangle$$

这意味着群 $G$ 是由元素 $g$ 通过群运算生成的。

循环群的性质

1. 生成元：如果群 $G$ 是循环群，则存在一个元素 $g$（称为生成元），使得 $G = \langle g \rangle$。
2. 有限与无限：
   • 如果群 $G$ 中的生成元 $g$ 的幂是有限的，则该群是有限循环群。
   • 如果生成元的幂是无限的，则该群是无限循环群。

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循环群的例子

1. 整数加法群 $\mathbb{Z}$

群 $\mathbb{Z}$ 是整数加法群，群运算是加法。它是一个无限循环群，因为它是由 $1$ 生成的：

$$\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}$$

任何整数都可以表示为 $1$ 的加法倍数。

2. 模 $n$ 群 $\mathbb{Z}_n$

群 $\mathbb{Z}_n$ 是模 $n$ 加法群，群的元素是 $0, 1, 2, \dots, n-1$，运算是加法模 $n$。它是一个有限循环群，通常由元素 $1$ 生成：

$$\mathbb{Z}_n = \langle 1 \rangle = \{ 0, 1, 2, \dots, n-1 \}$$

例如，在 $\mathbb{Z}_5$ 中：

$$\mathbb{Z}_5 = \langle 1 \rangle = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$$

• $1 + 1 = 2$
• $1 + 1 + 1 = 3$
• $1 + 1 + 1 + 1 = 4$
• $1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0$（模 $5$）

3. 旋转群 $C_4$

群 $C_4$ 是正方形的旋转群，群运算是旋转操作。它是一个有限循环群，通常由 $90^\circ$ 的旋转生成：

$$C_4 = \langle 90^\circ \rangle = \{ 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ \}$$

• $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
• $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$
• $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 0^\circ$

因此，$C_4$ 是一个由 $90^\circ$ 旋转生成的有限循环群。