阿贝尔群

在群论中，阿贝尔群（Abelian group）是指群中任意两个元素的运算结果与它们的顺序无关，即群的运算是交换的。具体来说，群 $G$ 是阿贝尔群，如果对于群中的任意两个元素 $a, b \in G$，都有：

$$ab = ba$$

阿贝尔群的条件

如果群 $G$ 满足以下条件：

1. 封闭性：对于任意的 $a, b \in G$，$ab$ 仍然在 $G$ 中。
2. 单位元：存在单位元 $e \in G$，对于任意的 $a \in G$，都有 $ae = ea = a$。
3. 逆元：对于任意的 $a \in G$，存在逆元 $a^{-1} \in G$，使得 $aa^{-1} = a^{-1}a = e$。
4. 交换性：对于任意的 $a, b \in G$，都有 $ab = ba$。

如果一个群 $G$ 满足这些条件，则称 $G$ 是一个阿贝尔群。

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阿贝尔群的例子

1. 整数加法群 $\mathbb{Z}$

群 $\mathbb{Z}$ 是整数加法群，群运算是加法。对于任意的 $a, b \in \mathbb{Z}$，都有：

$$a + b = b + a$$

因此，$\mathbb{Z}$ 是一个阿贝尔群。

2. 实数加法群 $\mathbb{R}$

群 $\mathbb{R}$ 是实数加法群，群运算是加法。对于任意的 $a, b \in \mathbb{R}$，都有：

$$a + b = b + a$$

因此，$\mathbb{R}$ 是一个阿贝尔群。

3. 模 $n$ 群 $\mathbb{Z}_n$

群 $\mathbb{Z}_n$ 是模 $n$ 加法群，群的元素是 $0, 1, 2, \dots, n-1$，运算是加法模 $n$。对于任意的 $a, b \in \mathbb{Z}_n$，都有：

$$a + b \equiv b + a \pmod{n}$$

因此，$\mathbb{Z}_n$ 是一个阿贝尔群。