子群

在群论中，子群是指群的一个子集，同时满足以下三个条件：

1. 封闭性：对于子群 $H$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，其乘积 $ab$ 仍然在 $H$ 中。

2. 存在单位元：子群 $H$ 必须包含群 $G$ 的单位元 $e$。

3. 存在逆元素：对于子群 $H$ 中的每个元素 $a$，必须存在 $a$ 的逆元素 $a^{-1}$，使得 $a a^{-1} = e$，并且这个逆元素也在 $H$ 中。

如果一个群 $G$ 的子集 $H$ 同时满足这些条件，那么 $H$ 就是群 $G$ 的一个子群。

生成元定义

在群论中，生成元（Generator）是指能够通过群运算生成整个群的元素。更具体地，假设群 $G$ 是一个可解群，如果存在元素 $g \in G$，使得 $G$ 中的每个元素都可以通过有限次应用群运算从 $g$ 得到，那么 $g$ 就是群 $G$ 的一个生成元，记作：

$$G = \langle g \rangle$$

这意味着群 $G$ 是由元素 $g$ 的幂生成的。对于有限群来说，群 $G$ 中的每个元素都可以写成某个生成元的幂或该生成元的某种组合。

生成元的具体例子

1. 循环群的生成元

考虑整数加法群 $\mathbb{Z}$，群运算是加法。在这个群中，$1$ 是一个生成元，因为通过对 $1$ 进行加法运算，可以生成群 $\mathbb{Z}$ 中的所有整数。

例如：

• $\langle 1 \rangle = \{ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \}$，这表示 $1$ 是群 $\mathbb{Z}$ 的生成元。

任何整数 $n$ 都可以表示为 $1$ 的加法倍数，即：

$$n = 1 + 1 + \cdots + 1 \quad (\text{共 $n$ 次})$$

所以，$1$ 是群 $\mathbb{Z}$ 的生成元。

2. 模 $n$ 群的生成元

考虑模 $n$ 群 $\mathbb{Z}_n$，该群的元素是从 $0$ 到 $n-1$ 的整数，群运算是模 $n$ 加法。在这个群中，$1$ 也是一个生成元，因为通过对 $1$ 进行加法，可以生成群中的所有元素。

例如，在 $\mathbb{Z}_5$ 中，群的元素是 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$，而 $1$ 是一个生成元：

$$\langle 1 \rangle = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$$

• $1 + 1 = 2$
• $1 + 1 + 1 = 3$
• $1 + 1 + 1 + 1 = 4$
• $1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0$（模 $5$）

所以，$1$ 是群 $\mathbb{Z}_5$ 的生成元。

3. 旋转群的生成元

考虑平面上的旋转群 $C_4$，该群表示的是正方形的旋转操作。群的元素包括四个旋转操作：$0^\circ$、$90^\circ$、$180^\circ$ 和 $270^\circ$。可以看到，$90^\circ$ 是一个生成元，因为通过反复旋转 $90^\circ$，可以得到所有的旋转操作。

$$C_4 = \langle 90^\circ \rangle = \{ 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ \}$$

• $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
• $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$
• $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 0^\circ$

因此，$90^\circ$ 是群 $C_4$ 的生成元。